伯克霍夫函数（Birkhoffian function），理学-力学-动力学与控制-分析力学-伯克霍夫力学，自治伯克霍夫系统的积分。记为。为伯克霍夫函数组。欲使系统方程组有伯克霍夫形式，需构造出伯克霍夫函数和伯克霍夫函数组。构造伯克霍夫函数和伯克霍夫函数组有如下几种方法。①散提黎第一方法。取伯克霍夫函数为系统的总能量，并解对伯克霍夫函数组的柯西-柯娃列夫斯卡娅方程，便可确定伯克霍夫函数组。②散提黎第二方法。如果能构造出系统方程组的自伴随协变一般形式，便可由自伴随性质计算出伯克霍夫函数组和伯克霍夫函数。③欧曼方法。假设已知系统方程的全部独立的第一积分，便可由第一积分确定伯克霍夫函数组和伯克霍夫函数。④自治系统伯克霍夫函数的构造。首先，求出伯克霍夫函数所应满足的一阶齐次偏微分方程，通过寻求该偏微分方程的特征方程的第一积分的办法来构造伯克霍夫函数。其次，伯克霍夫函数确定后，便可通过求解自治伯克霍夫方程，得到伯克霍夫函数组。伯克霍夫函数是自治伯克霍夫系统的积分。利用伯克霍夫函数可以进一步研究系统的稳定性、奇点性质、周期解、分岔和梯度性质等。