黎曼曲面（Riemann surface），理学-数学-复分析和复几何-复变函数论-黎曼曲面，B.黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一，而且与众多的现代数学分支有紧密联系，如多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论、自守函数等。 单值解析函数的反函数可以是多值的。例如，幂函数和指数函数的反函数为根式函数和对数函数，它们都是多值的。另外，从一个解析函数元素出发沿一个闭曲线作解析开拓，最后可能得到不同的元素。因此，完全解析函数往往是多值的。在研究多值函数时，人们先把它分解为一个个单值解析分支，然后按这些分支之间的关系把它们连接起来。 为研究，把扩充的复平面沿正实轴割开，记为，它的边界是两条正实轴和，分别镶在第一象限的下边和第四象限的上边，在上令：就得到的一个单值解析分支，它在的内部是解析的，并且连续到边界和上，但在和同一个正实数对应的分别位于和上的两个点上，却分别取不同的值和。设是另一个沿正实轴割开的扩充的复平面，它的边界记为和。令：就得到的另一个单值解析分支。