波莱尔可测函数

波莱尔可测函数(Borel measurable function)亦称波莱尔函数，是与波莱尔集相适应的可测函数。设f(x)是定义在波莱尔集B?Rn上的扩充实值函数，若对任意实数α，点集{x∈B|f(x)>α}是一波莱尔集，则称f(x)是B上的波莱尔可测函数。这类函数构成了勒贝格可测函数类的子类，Rn中勒贝格可测函数与波莱尔函数的复合函数有如下关系：B°B=B， L°B=L， B°L=X， L°L=X，其中B，L分别表示波莱尔可测、勒贝格可测，X表示不一定可测[1]。波莱尔函数是一类相当广泛的函数，它包括一切阶梯函数、一切连续函数和分段连续函数。波莱尔函数经过有限次的加、减、乘、除运算以及函数的复合，仍然是波莱尔函数；波莱尔函数列的(上、下)极限以及上确界和下确界仍然是波莱尔函数。假设，是定义在上的单值实函数，称为(m元)波莱尔函数，如果对于任意实数，其中是m维波莱尔代数。波莱尔函数又叫做波莱尔可测函数(或-可测函数)[2]。