欧几里德几何公理系统是早期数学中最有影响的公理系统，大约提出于公元前3世纪。欧几里德的公理系统E的结构是形式公理系统的前身，展示了数学知识之间的逻辑关系(作为逻辑运算的原子命题之间构成的关系，特别是蕴涵关系、命题之间的传递关系等)，它同时展示了数学证明可由少部分初始命题证明多个命题，这部分初始命题构成一个系统，并具有确定的结构(包括公设、公理、定义，对于欧几里德之后的系统，还可能加入断言或命题作为公理的补充部分)和功能(持续不断地证明命题使之加入己证明的知识库，作为证明知识库之外其他命题的知识基础)。而证明的过程是这个系统的运行过程。欧几里德公理系统不是形式公理系统，即在欧几里德公理系统中，一个公理或命题均以自然语言表述，这个公理或命题变换表述方式(形式有无变化)不影响系统证明的步骤和功能。它只是以其表述的内容由人来理解和运用(而后来的计算机需要形式化语言)，因此，命题在形式上与证明无关。