完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间:空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。以有限维空间来说,向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念-向量的夹角,特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间,在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念,从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离,Banach空间就成为了希尔伯特空间。有理数空间不是完备的,因为√2的有限位小数表示是一个柯西序列,但是其极限√2不在有理数空间内。实数空间是完备的开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不