设p是一个质数；则可定义一个G的西罗p-子群（有时称为p-西罗子群），其为G的最大p-子群（即一个其为p-群且不为其他G之p-子群的纯子群之子群）。所有给定一质数p之西罗p-子群所组成之集合有时会写成Sylp(G)。在一种或另一种意思下皆为最大之子群的集合在群论中并没有不一样。这里很不可思议的为在Sylp(G)内的例子，每个元素都会实际地共轭于另一个元素；且此一性质可以被用来决定G的其他性质。第一Sylow定理：设G是以阶为的有限群，r>=1，p是素数，（p，m）=1，对每个()，G中含有阶的子群，并且G中每个阶的子群是某个阶子群的正规子群。