商空间

设V是F-线性空间，W是V的一个子空间，对于任意的α，β向量属于V，称α与β关于W等价，当α - β属于W。等价关系 定义 设V是F-线性空间，W是V的一个子空间，对于任意的α，β向量属于V，称α与β关于W等价，当α - β属于W。写或写作 β = α + W 性质 (1)反身性 a~a(2)对称性 若a~b 则 b~a(3)传递性 若a~b b~c则a~c商空间设V是F-线性空间，W是V的一个子空间。将集合K称为V为关于W的商空间(商线性空间)，当K={[α] | [α]=α+W, α 为V中的一个向量}。记为K = V / W 商空间的运算 和:(α + W)+(β + W)=(α + β)+ W证明 a1 = α + W ; a2 = β + W,即 a1 - α 属于W ，a2 - β 属于W。 由于W为线性空间 故 (a1 - α)+(a2 - β)也属于 W ，(a1 - α)+(a2 - β)=(a1 + a2)- ( α + β )属于W即 a1 + a2 = (α + β) +W数乘:k(α