庞加莱一本迪克松定理

庞加莱一本迪克松定理，庞加莱-本迪克松定理(Poincaré-Bendixson theorem)是平面定性理论的经典成果并是后续研究的重要基础。给定系统dx/dt=X(x)，(1)，或平面系统：dx/dt=P(x，y)，dy/dt=Q(x，y)，(2)，庞加莱-本迪克松定理断言：若系统(2)的一条正半轨保持在某一不含奇点的有界区域内，则它盘旋逼近于一条极限环(它在该轨线所在一侧为稳定)。设有集合A，如果对任一x∈A及一切t∈R，(1)或(2)的轨线φt(x)∈A，则称A为系统(1)或(2)的不变集。显然，ω或α极限集均为不变集。如果不存在A的不变真子集，则非空不变集A称为一个极小集。关于极小集的结构，施瓦兹(A.J.Schwarz)于1963年将上述结果推广到定义于二维流形上的C2类流，得到下述结论(亦称施瓦兹定理)：C2类流形M上的C2流的非空紧极小集必属于下列情形之一：1.一个奇点；2.一条闭轨；3.整个流形M。对维数n>2的系统，则可以有结构复杂的极限集，例如混沌集等。(庞加莱-本迪克松定理) 考虑上的微分方程。