五次方程是一种最高次数为五次的多项式方程。寻找五次方程的解一直是个重要的数学问题。一次方程和二次方程很早就找到了公式解，经过数学家们的努力，后来三次方程及四次方程也有了解答，但是之后很长的一段时间里没有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下，解五次方程显得格外的困难。拉格朗日的工作启发了年轻的阿贝尔(挪威数学家)，中学时期就自学了许多名家的数学著作，进大学后，开始研究五次方程的代数解问题。1824年，他严格地证明了高于四次的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，这时他才22岁，尚未大学毕业，但没有得到别人理解，将论文寄给高斯，也未引起注意，1826年才得以公开发表论文。阿贝尔只是证明了高于四次方程的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，没有指出哪些特殊的方程存在代数解。这个问题后来被法国年轻数学家伽罗瓦所解决，伽罗瓦创设的理论给出了可解性判别准则，并因此而开辟了数学的新领域——群论。