一阶算术

一阶算术(first order arithmetics)递归论研究的内容之一是刻画初等数论的一阶形式理论.表述这种理论的语言为一阶算术语言丫.它除了含有通常一阶语言的内容外，还含有等词一，个体常元0(零)，一元常函数S(后继)及两个二元常函词+(加)和X(乘).设哭为通常的自然数结构，则丫可以在哭中得到自然的解释.在这个解释之下为真的全体一阶算术语句(即丫语句)构成一个理论门，即门~{列哭片沪邑沪为丫语句)}，此理论门称为一阶算术理论，简称一阶算术.一阶算术门由直观上为真的全体一阶算术语句所组成，因此，它是一个协调的、完备的理论(这与佩亚诺算术PA大不一样)，但是，门是不可公理化的，即无法从门中挑选出一个递归可枚举的语句集合作为公理，从而把门中的其他语句全部推出来.因而也不存在一个能行的过程，把门的全体语句能行地列举出来.